直線L的方程為x=-
p
2
，其中p＞0；橢圓E的中心為O′(2+
p
2
，0)，焦點在X軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為A(
p
2
，0)，問p在什么范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．
分析：根據(jù)到點A的距離等于該點到直線L的距離的點的軌跡是以A為焦點的拋物線，并且軌跡方程為y2=2px．利用橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓的方程，又根據(jù)題意可得：拋物線與橢圓相交，進而得到相應的方程組有實數(shù)解，從而得出p的取值范圍．
解答：解：因為橢圓上有四個不同的點到點A的距離等于該點到直線L的距離相等，
所以由拋物線的定義知：這四個不同的點在是以A為焦點的拋物線，所以點P的方程為y2=2px．
又根據(jù)題意，橢圓的方程為：（x-2-
p
2
）2+4y2=4，
則聯(lián)立橢圓與拋物線的方程，消去y，
可得：x2-（4-7p）x+2p+
p2
4
=0，此方程必有正實數(shù)根，
所以△=（4-7p）2-4（2p+
p2
4
）≥0，且4-7p＞0，p＞0，
解得：0＜p＜
1
3
．
故p在（0，
1
3
）范圍內(nèi)取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．
點評：本題考查拋物線定義及標準方程，以及直線與拋物線的位置關系，并且也考查橢圓的簡單性質(zhì)，解題時要認真審題，仔細解答．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點（1，1）的直線l與圓x2+y2=4交于A，B兩點，若|AB|=2
2
，則直線l的方程為
x+y-2=0
x+y-2=0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭三模）直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程為ρ=4cosθ，直線l的方程為
x=-2+
3
2
t
y=
1
2
t
（t為參數(shù)），直線l與曲線C的公共點為T．
（1）求點T的極坐標；
（2）過點T作直線l'，l'被曲線C截得的線段長為2，求直線l'的極坐標方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江西）如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過點P （1，
3
2
），離心率e=
1
2
，直線l的方程為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+y2=8，過點A（-1，0），直線l將圓C分成弧長之比為1：2的兩段圓弧，則直線l的方程為
x-y+1=0或x+y+1=0
x-y+1=0或x+y+1=0
．

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