Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（n∈N）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)： 求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求證：Pn＞．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=得：且，
所以知：數(shù)列{}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
所以 ，得．
（2）由得：，∴，
從而：，
則 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴
設(shè)：，則P_n＞T_n
從而：，
故：Pn＞．
分析：（1）由a_n+1=得：且，所以 ，由此得．
（2）由得：，∴，從而：，由裂項求和法能得到數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項的和T_n．
（3）由P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=，（4n）²＜（4n）²-1，知，由此能夠證明Pn＞．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和的求法和數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要注意構(gòu)造法、裂項求和法的合理運用．