Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2，E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BC⊥平面PDC；
（2）求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BC垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD 和CD，可得BC⊥平面PCD；
（2）利用等體積可求點(diǎn)E到平面PBC的距離．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴BC⊥CD．
這樣，BC垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD和CD，∴BC⊥平面PCD；
（2）解：由題意，△EBC中，EB=1，BC=2，∴S_△EBC=

1

2

•1•1=1，
△PBC中，PC=

2

，BC=2，∴S_△PBC=

1

2

•

2

•2=

2

，
設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h，則
由等體積可得

1

3

•1•2=

1

3

•

2

h，
∴h=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面垂直的方法，等體積可求點(diǎn)E到平面PBC的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．