Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+

1

x

，其中a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）分a=0，a≠0兩種情況討論，利用奇偶性的定義可判斷；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，等價于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)化為函數(shù)的最值即可；

解答： 解：（1）當a=0時f（x）為奇函數(shù)；當a≠0時f（x）為非奇非偶函數(shù)．證明如下：
∵f（x）=ax²+

1

x

，
∴f（-x）=ax²-

1

x

，
當a=0時，f（-x）=-f（x）=-

1

x

，f（x）為奇函數(shù)；
當a≠0時，f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
此時f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）f′（x）=2ax-

1

x2

，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即2a≥

1

x3

在[1，+∞）上恒成立，
而

1

x3

在在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴

1

x3

≤1，
∴2a≥1，解得a≥

1

2

．

點評：該題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，熟記相關(guān)定義及其基本判斷方法是解題關(guān)鍵．