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8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點(diǎn)M,N均在直線x=5上,圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為13;圓弧C2過點(diǎn)A(29,0).
(1)求圓弧C2的方程;
(2)曲線C上是否存在點(diǎn)P,滿足PA=30PO?若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)根據(jù)圓弧 C1所在圓的方程為 x2+y2=169,可得M,N的坐標(biāo),從而可得直線AM的方程為 y-6=2(x-17),進(jìn)而可求圓弧 C2所在圓的圓心為 (14,0),圓弧C2 所在圓的半徑為=29-14=15,故可求圓弧C2 的方程;
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x,y),則由PA=30PO,得x2+y2+2x-29=0,分別與圓弧方程聯(lián)立,即可知這樣的點(diǎn)P不存在.

解答 解:(1)圓弧 C1所在圓的方程為 x2+y2=169,令x=5,
解得M(5,12),N(5,-12)…2分
則直線AM的中垂線方程為 y-6=2(x-17),
令y=0,得圓弧 C2所在圓的圓心為 (14,0),
又圓弧C2 所在圓的半徑為29-14=15,
所以圓弧C2 的方程為(x-14)2+y2=225(5≤x≤29)…5分
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P(x,y),則由PA=30PO,得x2+y2+2x-29=0 …8分
{x2+y2+2x29=0x2+y2=169,解得x=-70 (舍去) 9分
{x2+y2+2x29=0x142+y2=225,解得 x=0(舍去),
綜上知,這樣的點(diǎn)P不存在…10分

點(diǎn)評(píng) 本題以圓為載體,考查圓的方程,考查曲線的交點(diǎn),同時(shí)考查距離公式的運(yùn)用,綜合性強(qiáng).

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(1)求圖中x的值;
(2)若上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)習(xí)住宿,則該校3000名學(xué)生中,估計(jì)有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.

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