Question

設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，2a+b=8，則

1

x

+

1

y

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：先由a^x=b^y=2表示出x和y，因?yàn)閤、y在指數(shù)位置，故用對(duì)數(shù)表達(dá)，再結(jié)合2a+b=8，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：由a^x=b^y=2得x=log_a2，y=log_b2，
∴

1

x

+

1

y

=

1

loga2

+

1

logb2

=log₂a+log₂b=log₂ab，
又a＞1，b＞1，∴8=2a+b≥2

2ab

即ab≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=2，b=4時(shí)取等號(hào)，
所以

1

x

+

1

y

=log₂ab≤log₂8=3．故(

1

x

+

1

y

)max=3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查指對(duì)互化、對(duì)數(shù)的換底公式、利用基本不等式求最值等知識(shí)，是函數(shù)和不等式的綜合，難度一般．