Question

（2011•惠州模擬）如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：PE⊥DE；
（2）設(shè)PA=1，在線段BC上存在這樣的點(diǎn)E，使得二面角P-ED-A的平面角大小為

π

4

．試確定點(diǎn)E的位置．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=a，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，證明

PE

•

DE

=0，即可證PE⊥DE；
（2）設(shè)BE=x，求得向量

AP

=(0，0，1)為平面AED的一個(gè)法向量，平面PDE的法向量

n

=(2-x，1，2)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：證明：以為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．…（1分）
（1）不妨設(shè)AP=a，則P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
從而

PE

=(1，1，-a)，

DE

=(1，-1，0)，…（5分）
于是

PE

•

DE

=（1，1，-a）•（1，-1，0）=0，
所以

PE

⊥

DE

，所以PE⊥DE…（6分）
（2）解：設(shè)BE=x，則P（0，0，1），E（1，x，0），D（0，2，0），
則

PE

=(1，x，-1)，

DE

=(1，x-2，0)…（8分）
向量

AP

=(0，0，1)為平面AED的一個(gè)法向量．設(shè)平面PDE的法向量為

n

=(a，b，c)，
則應(yīng)有

n • PE =0 n • DE =0

即

a+bx-c=0 a+b(x-2)=0

解之得c=2b，令b=1，則c=2，a=2-x，x2=2-

3

從而

n

=(2-x，1，2)，…（10分）
依題意cos

π

4

=

n • AP

| n || AP |

=

2

2

，即

2

(x-2)2+5

=

2

2

，解之得x1=2+

3

（舍去），
所以點(diǎn)E在線段BC上距B點(diǎn)的2-

3

處．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，建系設(shè)點(diǎn)是關(guān)鍵．