Question

已知關(guān)于x的不等式kx²-2x+6k＞0．
（1）若不等式的解集是{x|-3＜x＜-2}，求實數(shù)k的值．
（2）若不等式對一切x∈（0，3）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)一元二次方程與對應(yīng)的不等式的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值；
（2）把不等式kx²-2x+6k＞0變形為k＞

2x

x2+6

，利用基本不等式求出x+

6

x

的最小值，從而求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＞0的解集是{x|-3＜x＜-2}，
∴k＜0，且-3和-2是方程kx²-2x+6k=0的實數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得；
（-3）+（-2）=

2

k

，
∴k=-

2

5

；（6分）
（2）根據(jù)題意kx²-2x+6k＞0，得：
k＞

2x

x2+6

在（0，3）上恒成立；
設(shè)y=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

，x∈（0，3），
∵x+

6

x

≥2

6

，
即(x+

6

x

)min=2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

6

時取“=”；
∴(

2x

x2+6

)max=

2

2 6

=

6

6

，
∴k的取值范圍為（

6

6

，+∞）．（12分）

點評：本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求函數(shù)最值的問題，是綜合性題目．