Question

【題目】已知拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是拋物線(xiàn)上異于的兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若直線(xiàn)，的斜率之積為，求證：直線(xiàn)過(guò)軸上一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得以及拋物線(xiàn)方程；

（2）對(duì)直線(xiàn)的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)，的斜率之積為，找到直線(xiàn)之間的等量關(guān)系，從而證明問(wèn)題.

（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，即.

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，

設(shè)，.

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之積為，

所以，化簡(jiǎn)得.

所以，，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，

設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立方程組，消去得.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之積為，

所以，即.

即，

解得（舍去）或.

所以，即，

所以即

綜合①②可知，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).