Question

1．已知點(diǎn)P（2，-1），求：
（1）過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離為2的直線l的方程；
（2）是否存在過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線經(jīng)過點(diǎn)P與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=2，滿足過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離為2．直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：$\frac{|0-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可得出．
（2）到直線l與直線OP垂直時(shí)，滿足原點(diǎn)O到直線l的距離取得最大值，|OP|=$\sqrt{5}$．即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（1）直線經(jīng)過點(diǎn)P與x軸垂直時(shí)，直線方程為x=2，滿足過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離為2．
直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，則$\frac{|0-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出k=$\frac{3}{4}$，因此直線l的方程為：3x-4y-10=0，
綜上可得：直線l的方程為：x=2或3x-4y-10=0．
（2）到直線l與直線OP垂直時(shí)，滿足原點(diǎn)O到直線l的距離取得最大值，為|OP|=$\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
因此不存在過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離為6的直線．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．