Question

已知函數f（x）定義域為R，對于任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．且x＞0時，f（x）＞0，則（　�。�

• A、f（x）是偶函數且在R上單調遞減
• B、f（x）是偶函數且在R上單調遞增
• C、f（x）是奇函數且在R上單調遞增
• D、f（x）是奇函數且在R上單調遞減

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由條件可令x=y=0，得到f（0）=0，令x+y=0，即有f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數，由于x＞0時，f（x）＞0，令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞0，再運用條件即可得到單調性．

解答： 解：由于任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
則令x=y=0，即2f（0）=f（0），即f（0）=0，
令x+y=0，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，即有f（-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數，
由于x＞0時，f（x）＞0，
令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞0，
即有f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
則f（x）在R上單調遞增．
故選C．

點評：本題考查抽象函數及應用，考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用定義，考查運算能力，屬于中檔題．