Question

已知命題p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（

3-a

2

）^x在R上單調遞減，命題q：二次函數(shù)g（x）=x²-2ax+a+2在[0，2]有且只有一個零點；若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：首先，判斷當所給的兩個命題為真命題時，相應的取值范圍，然后，結合條件確定具體的范圍即可．

解答： 解：由命題p：指數(shù)函數(shù)f（x）=（

3-a

2

）^x在R上單調遞減，得
0＜

3-a

2

＜1，
∴1＜a＜3，
由命題q：二次函數(shù)g（x）=x²-2ax+a+2在[0，2]有且只有一個零點，得
g（x）=（x-a）²+a+2-a²，
當a＜0時，滿足：

g(0)＜0 g(2)＞0

，解得

a+2＜0 4-4a+a+2＞0

，
∴

a＜-2 a＜2

，
∴a＜-2，
當0≤a≤1時，滿足：△=4a²-4（a+2）=0解得a=-1或a=2（舍去），
當a＞2時，滿足：

g(0)＞0 g(2)＜0

，解得

a+2＞0 -3a+6＜0

，
∴a＞2，
∴a＜-2或a＞2，
∵若p或q為真，p且q為假，
∴p，q必一真一假，得

1＜a＜3 -2≤a≤2

或

a≤1或a≥3 a＜-2或a＞2

．，
∴a∈（-∞，-2）∪（1，2]∪[3，+∞）．
綜上，得到a的取值范圍為：（-∞，-2）∪（1，2]∪[3，+∞）．

點評：本題重點考查了不等式的解法、復合命題的真假判斷等知識，屬于中檔題．