Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）若PA=PD=AB=2，問當AD為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求其最大體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AB⊥面PAD，由此能證明AB⊥PD．
（Ⅱ）取AD中點O，連結PO，則PO⊥面ABCD，由此能推導出AD=2

2

時，V_max=

8

3

．

解答： （Ⅰ）證明：∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，
又∵PD?面PAD，
∴AB⊥PD．

（Ⅱ）解：取AD中點O，連結PO，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
由（Ⅰ）有PO⊥面ABCD，
設AD=x．PO=

AP2-AO2

=

4- 1 4 x2

=

1

2

16-x2

，
V_P-ABCD=

1

3

×OP×S△ABCD
=

1

3

×2x×

1

2

16-x2

=

1

3

16x2-x4

．
=

1

3

-(x2-8)2+64

，
∴當x²=8，即x=2

2

時，V_max=

8

3

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查當AD為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大，并求其最大體積，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．