Question

已知橢圓G的焦點(diǎn)分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，

2

），直線l：x=ty+2與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．若

F1A

•

F1B

=0，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出橢圓的方程，進(jìn)一步利用直線和橢圓的位置關(guān)系，建立方程組，進(jìn)一步根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系，求出y1+y2=

-4t

t2+2

，y1•y2=

-4

t2+2

，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積的值，最后建立關(guān)于t的方程求出結(jié)果．

解答： 解：已知橢圓G的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
由于：焦點(diǎn)分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，

2

），
所以：

4 a2 + 2 b2 =1 a2-b2=4

解得：

b2=4 a2=8

橢圓的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1
直線l：與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）、
所以：

x2 8 + y2 4 =1 x=ty+2

整理得：（t²+2）y²+4ty-4=0
y1+y2=

-4t

t2+2

，y1•y2=

-4

t2+2

根據(jù)F₁（-2，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以：

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)
由于

F1A

•

F1B

=0
所以：（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0
整理得：-20t²-4+12t²+24=0
解得：t=±

10

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓的方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，根和系數(shù)的關(guān)系，向量的數(shù)量積及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．屬于中等題型．