Question

【題目】已知函數(shù)，.

（I）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（II）若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值，請(qǐng)說明理由（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）有最小值，沒有最大值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，求出的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性即可得證；（Ⅱ）求出的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值和當(dāng)時(shí)，時(shí)的最大值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷有最小值，沒有最大值.

試題解析：（I）證明：∵，

∴，

設(shè)，則，

∴當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.

∵，

∴當(dāng)時(shí)，.

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（II）∵，

∴的定義域是，且，即.

∵，∴，

當(dāng)變化時(shí)，、變化情況如下表：

∴當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的最大值是.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為.

即.

（1）當(dāng)時(shí)，.

由（I）知，在上單調(diào)遞增.

又，，

∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，有最小值.

（2）當(dāng)時(shí)，，

∴在單調(diào)遞增.

又，

∴當(dāng)時(shí)，.

∴在上單調(diào)遞增.

綜合（1）（2）及試題分析式可知，有最小值，沒有最大值.