【題目】如圖，在正三棱柱（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一點(diǎn)．

（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，易知是的中點(diǎn)，然后利用中位線定理可使問題得證；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量，由此求得平面與平面的法向量，從而利用空間夾角公式求解．

試題解析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，易知是的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

則由得，

令，得，

易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．

（1）求角的大�。�

（2）若的面積為，且，求的值．

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【題目】已知函數(shù)，.

（I）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；

（II）若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值，請說明理由（參考數(shù)據(jù)：）

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）當(dāng)時(shí)，對任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】某校高三文科名學(xué)生參加了月份的模擬考試，學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文情況，利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，抽出的名學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文成績?nèi)缦卤?

（1）將學(xué)生編號為:, 若從第行第列的數(shù)開始右讀，請你依次寫出最先抽出的 個(gè)人的編號(下面是摘自隨機(jī)用表的第四行至第七行)

（2）若數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為，求的值；

（3）在語文成績?yōu)榱嫉膶W(xué)生中，已知，求數(shù)學(xué)成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.

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【題目】某城市有一直角梯形綠地，其中，km，km．現(xiàn)過邊界上的點(diǎn)處鋪設(shè)一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．

（1）如圖①，若為的中點(diǎn)，在邊界上，求灌溉水管的長度；

（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（1）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值；

（2）若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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