Question

（2009•閔行區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x-1，（a＞1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，g（x）=log_a（x²-3x+3）（a＞1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[loga

p

m

，loga

p

n

]，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），若w≥F（x）對一切x∈（-1，+∞）恒成立，求實數(shù)w的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù) y=a^x的圖象關(guān)于直線y=x對稱可知兩函數(shù)互為反函數(shù)，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立等式關(guān)系，x²-3x+3=p+3x在（

3

2

，+∞）有兩個不等的根，從而求出p的范圍；
另解：可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）圖象與函數(shù)y=p的圖象有兩個交點問題，數(shù)形結(jié)合求解
（3）先求出函數(shù)F（x）的最大值，若w≥F（x）對一切x∈（-1，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為w≥F（x）_max

解答：（本題滿分18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=log_a（x+1）；                          （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，（6分）∴在區(qū)間[m，n]（m＞-1），g(m)=loga(m+1)=loga

p

m

，g(n)=loga(n+1)=loga

p

n

；
即m+1=

p

m

，n+1=

p

n

，n＞m＞-1．∴m，n是方程x+1=

p

x

即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的兩個相異的解，（8分）
這等價于

△=1+4p＞0 (-1)2+(-1)-p＞0 - 1 2 ＞-1

，（10分）    解得-

1

4

＜p＜0為所求．（12分）
另解：可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）圖象與函數(shù)y=p的圖象有兩個交點問題，數(shù)形結(jié)合求得：-

1

4

＜p＜0．
（3）F(x)=af(x)-g(x)=aloga(x+1)-loga(x2-3x+3)=

(x+1)

x2-3x+3

，(x＞-1)（14分）∵(x+1)+

7

x+1

-5≥2

7

-5，當(dāng)且僅當(dāng)x=

7

-1時等號成立，∴

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

∈(0，

2 7 +5

3

]，（16分）∴F(x)max=F(

7

-1)=

2 7 +5

3

，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，所以w≥

2 7 +5

3

為所求．（18分）

點評：題主要考查了函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)的值域和列舉法，同時考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．