【題目】已知四棱錐S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的任意一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)E的平面α垂直于平面SAC.

(1)請(qǐng)作出平面α截四棱錐S﹣ABCD的截面(只需作圖并寫(xiě)出作法);
(2)當(dāng)SA=AB時(shí),求二面角B﹣SC﹣D的大。

【答案】
(1)解:∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BD,

∵底面ABCD是正方形,∴BD⊥AC,

則BD⊥平面SAC,

若點(diǎn)E的平面α垂直于平面SAC,

則平面α 與底面的交線(xiàn)平行于BD即可.


(2)解:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AS所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸.設(shè)AB=1.

由題意得B(1,0,0),S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),

=(1,0,﹣1),又 =(1,1,﹣1)

設(shè)平面BSC的法向量為 (x1,y1,z1),則

,令z1=1,則 =(1,0,1,

=(0,﹣1,1) =(1,0,0),

設(shè)平面SCD的法向量為 =(x2,y2,z2),則

,令y2=1,則 =(0,1,1),

設(shè)二面角B﹣SC﹣D的平面角為α,則

|cosα|= = =

顯然二面角B﹣SC﹣D的平面角為α為鈍角,所以α=120°,

即二面角C﹣PB﹣D的大小為120°


【解析】(1)根據(jù)條件先證明BD⊥平面SAC,則面α 與底面的交線(xiàn)平行于BD即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面BSC、平面SCD的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角B﹣SC﹣D的大小.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì),掌握兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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