已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（Ⅰ）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|(λ≤1)的最小值等于-
3
2
，求λ值及f（x）取得最小值-
3
2
時x的值．
分析：（1）根據(jù)向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．利用向量的數(shù)量積公式和向量的模的運算法則，能夠求出
a
•
b
及|
a
+
b
|．
（2）因為f(x)=
a
•
b
-2λ|(
a
+
b)
|=cos2x-4λcosx(λ≤1)x∈[0，
π
2
]=2cos2x-4λcosx-1=2（cosx-λ）2-2λ2-1，由于x∈[0，
π
2
]，所以cosx∈[0，1]．再由f(x)=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|(λ≤1)的最小值等于-
3
2
，能求出λ值及f（x）取得最小值-
3
2
時x的值．
解答：解：（1）∵向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，
且x∈[0，
π
2
]，
∴
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
x•sin
x
2
=cos2x，
|
a
+
b
|=
(
a
+
b)
2
=
2+2cos2x
=
4cos2x
=2cosx．
（2）∵x∈[0，
π
2
]，
∴f(x)=
a
•
b
-2λ|(
a
+
b)
|=cos2x-4λcosx(λ≤1)
=2cos2x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）2-2λ2-1，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴cosx∈[0，1]，
當λ＜0時，f(x)min=-1≠-
3
2
；
當0≤λ≤1時，f(x)min=-2λ2-1=-
3
2
，λ=
1
2
．
此時cosx=
1
2
，x=
π
3
．
綜上λ=
1
2
，
f（x）取最小值-
3
2
時，x=
π
3
．
點評：本題考查平面向量的綜合題，綜合性強，難度大，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．是高考的常見題型，易錯點是忽視角的取值范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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