Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦點為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓C上一點，若PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2））如果橢圓C上總存在關(guān)于直線y=x+m對稱的兩點A，B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據(jù)PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面積為1．
可得m²+n²=$（2\sqrt{3}）^{2}$，m+n=2a，$\frac{1}{2}mn$=1，聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為：y=-x+n，與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-8nx+4n²-4=0，△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系與中點坐標公式可得線段AB的中點坐標，代入直線y=x+m上，進而得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵PF₁⊥PF₂，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，△PF₁F₂的面積為1．
∴m²+n²=$（2\sqrt{3}）^{2}$，m+n=2a，$\frac{1}{2}mn$=1，
解得a=2，又c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）設(shè)AB的方程為：y=-x+n．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{y=-x+n}\end{array}\right.$，化為：5x²-8nx+4n²-4=0，
△=64n²-20（4n²-4）＞0，解得$-\sqrt{5}＜n＜\sqrt{5}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x₁+x₂=$\frac{8n}{5}$．y₁+y₂=-（x₁+x₂）+2n=$\frac{2n}{5}$．
線段AB的中點$（\frac{4n}{5}，\frac{n}{5}）$在直線y=x+m上，
∴$\frac{n}{5}=\frac{4n}{5}$+m，解得n=$-\frac{5}{3}$m，
代入$-\sqrt{5}＜n＜\sqrt{5}$，可得$-\sqrt{5}$＜$-\frac{5m}{3}$$＜\sqrt{5}$，解得$-\frac{3\sqrt{5}}{5}＜m＜\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是$（-\frac{3\sqrt{5}}{5}，\frac{3\sqrt{5}}{5}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、得出問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．