Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，其n項和為S_n，且數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且是公比為64的等比數(shù)列．
（I）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）對兩邊平方得到①，再由n≥2時，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②，利用①-②化簡得到數(shù)列{a_na_n}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，即可求出a_n的通項公式，因為數(shù)列{b_n}為首項為1，公比設(shè)為q的等比數(shù)列，根據(jù)數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列求出q即可得到b_n的通項公式；
（II）S_n為等差數(shù)列的前n項和，所以根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出S_n通項公式，然后把不等式的左邊變形化簡得到小于即可．
解答：解：（I）依題意有：4S_n+4=（a_n+1）²①，所以當(dāng)n≥2時，有4S_n-1+4=（a_n-1+1）²②
①-②得：4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²化簡得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0
所以數(shù)列{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列．
故a_n=3+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1．
設(shè){b_n}的公比為q，則b_n=q^n-1
∵數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列
∴
解得q=8∴b_n=8^n-1

（II）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴++…+=+++…+
=（1-+-+-+…+-）
=（1+--）
＜
點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比、等差數(shù)列通項公式的能力，以及會對一個數(shù)列進(jìn)行求和．