Question

20．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y²=2px（p＞0），O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，△AOB的面積是16，拋物線的焦點(diǎn)為F，若M是拋物線上的動點(diǎn)，則$\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，進(jìn)而可求得AB=4p，從而可得S_△OAB．設(shè)過點(diǎn)N的直線方程為y=k（x+1），代入y²=4x，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，則|MF|=|MA|，考慮直線與拋物線相切及傾斜角為0°，即可得出p．設(shè)M 到準(zhǔn)線的距離等于d，由拋物線的定義，化簡為 $\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}oikciqi$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$，換元，利用基本不等式求得最大值．

解答 解：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B關(guān)于x軸對稱．
∴直線OA的方程為：y=xtan45°=x，
與拋物線聯(lián)立，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2p}\\{y=2p}\end{array}\right.$，
故AB=4p，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2p×4p=4p²．
∵△AOB的面積為16，∴p=2；
焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)M（m，n），則n²=4m，m＞0，設(shè)M 到準(zhǔn)線x=-1的距離等于d，
則$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}eyyqwyi$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$．
令 m+1=t，t＞1，則$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng) t=3時，等號成立）．
故 $\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，求得A，B關(guān)于x軸對稱是關(guān)鍵，考查拋物線的定義，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了換元的思想，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵，屬于難題．