Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，首項a₁=1，點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n=1，2，3，…）均在直線y=2x+1上
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題利用點(diǎn)在直線上，得到數(shù)列{a_n}項與項關(guān)系，（1）再將n用1、2、3代入，分別求出數(shù)列的項a₂，a₃，a₄的值，（2）利用構(gòu)造等比數(shù)列求通項，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n=1，2，3，…）均在直線y=2x+1上，
∴a_n+1=2a_n+1，
（1）∵首項a₁=1，
∴當(dāng)n=1時，a₂=2a₁+1=3，
當(dāng)n=2時，a₃=2a₂+1=7，
當(dāng)n=3時，a₄=2a₃+1=15．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2不首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴an=2n-1，n∈N^*．

點(diǎn)評：本題考查了構(gòu)造法求通項，也可以用疊加法、數(shù)列歸納法等方法求數(shù)列的通項，本題難度適中，屬于中檔題．