分析 (1)點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支,由此能求出軌跡E的方程.
(2)雙曲線漸近線的斜率為$±\sqrt{3}$,利用斜率為k的直線l過點F2,且與軌跡Γ相交于A,B兩點,即可求斜率k的取值范圍;
(3)先假設(shè)存在定點M,使MA⊥MB恒成立,設(shè)出M點坐標(biāo),根據(jù)數(shù)量級為0,求P點坐標(biāo),如能求出,則P存在,求不出,則P不存在.
解答 解:(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,
點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支,
由c=2,2a=2,得b2=3,
故軌跡E的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$,(x≥1).…(3分)
(2)雙曲線漸近線的斜率為$±\sqrt{3}$,
∵斜率為k的直線l過點F2,且與軌跡Γ相交于A,B兩點,
∴k$<-\sqrt{3}$或k$>\sqrt{3}$;
(3)由(1)得點F2為(2,0)
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2)
將方程y=k(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立消去y得:(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$,x1x2=$\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}$
假設(shè)雙曲線C上存在定點M,使MA⊥MB恒成立,設(shè)為M(m,n)
則$\overrightarrow{MA}$$•\overrightarrow{MB}$=(x1-m)(x2-m)+[k(x1-2)-n][k(x2-2)-n]
=(k2+1)x1x2-(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2=$\frac{({m}^{2}+{n}^{2}-4m-5){k}^{2}-12nk-3({m}^{2}+{n}^{2}-1)}{{k}^{2}-3}$=0,
故得:(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)=0對任意的k2>3恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}-4m-5=0}\\{12n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-1=0}\end{array}\right.$,解得m=-1,n=0
∴當(dāng)點M為(-1,0)時,MA⊥MB恒成立;
當(dāng)直線l的斜率不存在時,由P(2,3),Q(2,-3)知點M(-1,0)使得MA⊥MB也成立.
又因為點(-1,0)是雙曲線C的左頂點,
所以雙曲線C上存在定點M(-1,0),使MA⊥MB恒成立.
點評 本題考查點的軌跡方程的求法,考查斜率的計算,考查存在性問題,綜合性強(qiáng),須認(rèn)真審題.
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A. | 2 | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\sqrt{6}$ |
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A. | $\frac{\sqrt{113}}{2}$ | B. | 5 | C. | $\sqrt{41}$ | D. | 25 |
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