Question

5．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)為F₁、F₂，斜率為K的直線過(guò)右焦點(diǎn)F₂，與橢圓交于A、B，與Y軸交于C，B為CF₂的中點(diǎn)，若|k|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則橢圓離心率e的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₂ （c，0），則直線的方程可設(shè)為y=k（x-c），求得C（0，-kc），B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），又B為橢圓上的點(diǎn)，代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)，即可求得k²=$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$，根據(jù)k的取值范圍，即可求得離心率e的取值范圍．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₂ （c，0），則直線的方程可設(shè)為y=k（x-c），
令x=0，得y=-kc，即C（0，-kc），
由于B為CF₂的中點(diǎn)，
∴B（$\frac{c}{2}$，-$\frac{kc}{2}$），又B為橢圓上的點(diǎn)，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4^{2}}=1$，由b²=a²-c²，
兩邊同除以a²，整理得：$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}{e}^{2}}{4（1-{e}^{2}）}=1$，
解得：k²=$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$，
∵|k|≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴k²≤$\frac{4}{5}$，即0≤$\frac{{e}^{4}-5{e}^{2}+4}{{e}^{2}}$≤$\frac{4}{5}$．又0＜e＜1，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤e＜1，
故答案為：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．