Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域．
（2）判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系．
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)a^x＞0，可得函數(shù)的定義域為R，再根據(jù) a^x=

1+y

1-y

＞0，求得y的范圍，可得函數(shù)的值域．
（2）化簡f（-x） 的解析式，可得它與-f（x）的關(guān)系．
（3）根據(jù) f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，再分當a＞1時 和當0＜a＜1時 兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)

2

ax+1

的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

，(a＞0且a≠1)，a^x＞0，∴函數(shù)的定義域為R，
再根據(jù) a^x=

1+y

1-y

＞0，求得-1＜y＜1，故函數(shù)的值域為（-1，1）．
（2）f（-x）=f(x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x）．
（3）∵f（x）=

ax+1-2

ax+1

=1-

2

ax+1

，
當a＞1時，由于函數(shù)

2

ax+1

是減函數(shù)，故f（x）為增函數(shù)；
當0＜a＜1時，由于函數(shù)

2

ax+1

是增函數(shù)，故f（x）為減函數(shù)．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．