Question

某企業(yè)生產(chǎn)某種商品x噸，此時所需生產(chǎn)費用為（x²-100x+10000）萬元，當(dāng)出售這種商品時，每噸價格為p萬元，這里p=ax+b（a，b為常數(shù)，x＞0）
（1）為了使這種商品的生產(chǎn)費用平均每噸最低，那么這種商品的產(chǎn)量應(yīng)為多少噸？
（2）如果生產(chǎn)出來的商品能全部賣完，當(dāng)產(chǎn)量是120噸時企業(yè)利潤最大，此時出售價格是每噸160萬元，求a，b的值．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：

分析：（1）表示出商品的生產(chǎn)平均費用，利用基本不等式可求最值；
（2）設(shè)出售x噸時，利潤是y元，根據(jù)售價-進價=利潤列出關(guān)系式，利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于a與b的方程，求出方程的解即可得到a與b的值．

解答： 解：（1）商品的生產(chǎn)費用平均為

x2-100x+10000

x

=x+

10000

x

-100≥2

x• 10000 x

-100=100
當(dāng)且僅當(dāng)x=100時，取等號，
∴當(dāng)產(chǎn)量x=100噸時，生產(chǎn)費用平均最低；
（2）設(shè)出售x噸時，利潤是y元，
則根據(jù)題意有：y=（ax+b）x-（x²-100x+10000）
=（a-1）x²+（b+100）x-10000
=（a-1）[x+

b+100

2(a-1)

]²-（a-1）[

b+100

2(a-1)

]²-10000，
∵x=120時利潤最大，
∴a-1＜0，即a＜1，-

b+100

2(a-1)

=120，①
又160=120a+b，②
聯(lián)立①②，解得：a=-

1

6

，b=180．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查基本不等式的運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．