Question

（文）已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=1，a₂=m，且對任意n∈N^*，都有

a

2 n+1

=anan+2+c．數(shù)列{a_n}前n項的和S_n
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求c的值和

lim

n→∞

an

Sn

；
（2）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求m與c的關系式；
（3）c=1，當n≥2，n∈N^*時，求證：

an+1+an-1

a n

是一個常數(shù)．

Answer 1

考點：數(shù)列的極限,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定數(shù)列的通項，利用

a

2 n+1

=anan+2+c，可以求c的值，分類討論求和，即可求

lim

n→∞

an

Sn

；
（2）求出數(shù)列的公差，利用

a

2 n+1

=anan+2+c，建立關系式，可求m與c的關系式；
（3）利用分析法進行證明．

解答： （1）解：由題意得：q=

a2

a1

=m，∴an=mn-11分
∴m²ⁿ=m^n-1mⁿ⁺¹+c，∴c=0，2分
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，∴m＞0
當m=1時，∴S_n=n，a_n=1，

lim

n→∞

an

Sn

=0；4分
當m＞0且m≠1時，∴Sn=

1-mn

1-m

，5分
∴

an

Sn

=(1-m)

mn-1

1-mn

6分
當0＜m＜1時

lim

n→∞

an

Sn

=0；
當m＞1時

an

Sn

=

1-m

( 1 m )n-1-m

，
∴

lim

n→∞

an

Sn

=

m-1

m

，
∴

lim

n→∞

an

Sn

=

0，0＜m≤1 m-1 m ，m＞1

；7分
（2）解：由題意得：d=a₂-a₁=m-1，8分
∴a_n=1+（n-1）（m-1），a_n+1=1+n（m-1），a_n+2=1+（n+1）（m-1），9分
∵

a

2 n+1

=anan+2+c，
∴[1+n（m-1）]²=[1+（n-1）（m-1）][1+（n+1）（m-1）]+c，10分
∴c=（m-1）²，12分；
（3）證明：計算a3=m2-1，猜想

an-1+an+1

an

=m，14分
欲證明

an-1+an+1

an

=m恒成立
只需要證明

an-1+an+1

an

=

an+an+2

an+1

恒成立
即要證明a_n+1（a_n-1+a_n+1）=a_n（a_n+a_n+2）恒成立
即要證明an+1an-1+an+12=an2+anan+2恒成立 （***）
∵

a

2 n+1

=anan+2+1，∴an+1an-1=an2-1，anan+2=an+12-1
（***）左邊=an+1an-1+an+12=an2-1+an+12
（***）右邊=an2+an+12-1
∴（***）成立   18分

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查數(shù)列的極限，考查分析法的運用，綜合性強．