過直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π
4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）試用p表示A、B之間的距離；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，求∠AOB的余弦值．
參考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．
（1）由題意知焦點(diǎn)F(
p
2
，0)，
∴過拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為
π
4
的直線方程是y=x-
p
2
，
即x-y-
p
2
=0，
（2）由
y2=2px
y=x-
p
2
⇒x2-3px+
p2
4
=0⇒xA+xB=3p，xAxB=
p2
4

⇒|AB|=xA+xB+p=4p．
（3）由
y2=4x
y=x-1
⇒x2-6x+1=0⇒xA+xB=6，xAxB=1.cos∠AOB=
|AO|2+|BO|2-|AB|2
2|AO||BO|
=
xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
xAxB+yAyB
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
2xAxB-
p
2
(xA+xB)+
p2
4
xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]
=-
3
41
41
．
∴∠AOB的大小是與p無關(guān)的定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若θ是任意實(shí)數(shù)，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　　）
A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）直線PM與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點(diǎn)，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積不小于2
2
，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1的長軸的左、右端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF的方程為
3
x+y-3
2
=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L1：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知三點(diǎn)P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．原點(diǎn)到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．

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