已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．
（Ⅰ）易得F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），A（0，-1），設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），
則PF22=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-
x12
2
=
1
2
(x1-2)2，
所以PF2=
2
-
2
2
x1
又⊙M的面積為
π
8
，∴
π
8
=
π
8
(x1-2)2，
解得x1=1，∴P(1，
2
2
)或(1，-
2
2
)，
∴PA所在直線方程為y=(1+
2
2
)x-1或y=(1-
2
2
)x-1
（Ⅱ）因?yàn)橹本�AF1的方程為x+y+1=0，且M(
x1+1
2
，
y1
2
)到直線AF1的距離為
|
x1+1
2
+
y1
2
+1|
2
=
2
2
-
2
4
x1
化簡(jiǎn)得y1=-1-2x1，聯(lián)立方程組
y1=-1-2x1
x12
2
+y12=1
，
解得x1=0或x1=-
8
9

∴當(dāng)x1=0時(shí)，可得M(
1
2
，-
1
2
)，
∴⊙M的方程為(x-
1
2
)2+(y+
1
2
)2=
1
2
；
當(dāng)x1=-
8
9
時(shí)，可得M(
1
18
，
7
18
)，
∴⊙M的方程為(x-
1
18
)2+(y-
7
18
)2=
169
162

（Ⅲ）⊙M始終和以原點(diǎn)為圓心，半徑為r1=
2
（長(zhǎng)半軸）的圓（記作⊙O）相切
證明：因?yàn)?span >OM=
(x1+1)2
4
+
y12
4

=
(x1+1)2
4
+
1
4
-
x12
8
=
2
2
+
2
4
x1，
又⊙M的半徑r2=MF2=
2
2
-
2
4
x1，
∴OM=r1-r2，∴⊙M和⊙O相內(nèi)切．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

過直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π
4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）試用p表示A、B之間的距離；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，求∠AOB的余弦值．
參考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率e=
2
且點(diǎn)P(3，
7
)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2
2
，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，與雙曲線x2-y2=1的漸近線有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（　�。�
A．
x2
8
+
y2
2
=1		B．
x2
12
+
y2
6
=1		C．
x2
16
+
y2
4
=1		D．
x2
20
+
y2
5
=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C過點(diǎn)M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）問是否存在滿足以下兩個(gè)條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C1過原點(diǎn)．若存在這樣的直線，請(qǐng)求出其方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知a是實(shí)數(shù)，直線2x-y+5=0與直線x-y+a+4=0的交點(diǎn)不在橢圓x2+2y2=11上，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為-
3
4
．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（x-1）2+y2=r2（0＜r＜
3
2
）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，則BD的長(zhǎng)為________，AB的長(zhǎng)為________．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案