已知雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的離心率e=
2
且點(diǎn)P(3，
7
)在雙曲線(xiàn)C上．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（0，2）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為2
2
，求直線(xiàn)l的方程．
（1）由已知e=
2
可知雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則a=b，
所以，雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=a2，
又點(diǎn)P(3，
7
)在雙曲線(xiàn)C上，∴32-(
7
)2=a2，
解得a2=2，b2=2，
所以，雙曲線(xiàn)C的方程為
x2
2
-
y2
2
=1；
（2）由題意直線(xiàn)l的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2
由
y=kx+2
x2
2
-
y2
2
=1
得（1-k2）x2-4kx-6=0，
設(shè)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于E（x1，y1）、F（x2，y2），則x1、x2是上方程的兩不等實(shí)根，
∴1-k2≠0，且△=16k2+24（1-k2）＞0，即k2＜3且k2≠1①，
這時(shí)x1+x2=
4k
1-k2
，x1•x2=-
6
1-k2

又S△OEF=
1
2
|OQ|•|x1-x2|=
1
2
×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2
2

即(x1+x2)2-4x1x2=8，∴(
4k
1-k2
)2+
24
1-k2
=8．
整理得3-k2=（k2-1）2，即k4-k2-2=0，∴（k2+1）（k2-2）=0
又k2+1＞0，∴k2-2=0，∴k=±
2
，適合①式．
所以，直線(xiàn)l的方程為y=
2
x+2與y=-
2
x+2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.
（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線(xiàn)PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-
3
4
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）直線(xiàn)PM與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知三點(diǎn)P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．原點(diǎn)到直線(xiàn)A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為
1
2
的直線(xiàn)l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫(xiě)出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線(xiàn)OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線(xiàn)段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），動(dòng)點(diǎn)R在曲線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)且保持|RF1|+|RF2|的值不變，曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)T（0，1），
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）M是曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率分別為k1和k2的直線(xiàn)MA，MB交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求k1•k2的值；
（Ⅲ）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F2，且與曲線(xiàn)C交于PQ，有如下命題p：“當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，△F1PQ的面積取得最大值”．判斷命題p的真假．若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線(xiàn)x+y-1=0與拋物線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

以?huà)佄锞�(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)的橢圓，上頂點(diǎn)為B2，右頂點(diǎn)為A2，左、右焦點(diǎn)為F1、F2，且|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|，過(guò)點(diǎn)D（0，2）的直線(xiàn)l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N的中點(diǎn)為H，且
OH
∥
A2B2
，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線(xiàn)AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．

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