Question

在△ABC中，a，b，c為內(nèi)角A，B，C的對邊，且有4sinAsinC-2cos（A-C）=1．
（Ⅰ）若a=3，c=4，求b；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（I）在△ABC中，化簡已知等式可得，cos（A+C）=-0.5，可得A+C=

2

3

π，B=π-(A+C)=

π

3

．由余玄定理求得b的值．
（Ⅱ）依據(jù)條件利用兩角和差的三角公式化簡sinA+sinC為

3

sin(A+

π

6

)，根據(jù)A∈(0，

2

3

π)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sinA+sinC的取值范圍．

解答： 解：（I）在△ABC中，由題意得：4sinAsinC-2（cosAcosC+sinAsinC）=1，
整理化簡得：2sinAsinC-2cosAcosC=1，即cos（A+C）=-0.5，∴A+C=

2π

3

．
在△ABC中，∵A+C=

2

3

π，∴B=π-(A+C)=

π

3

．
由余玄定理得：b=

2accosB-a2+c2

=

13

．
（II）∵sinA+sinC=sinA+sin(

π

2

+

π

6

-A)=sinA+cos(

π

6

-A)=

3

2

sinA+

3

2

cosA，
整理得：sinA+sinC=

3

sin(A+

π

6

)．
∵A∈(0，

2

3

π)，可令 m=A+

π

6

，∴m∈(

π

6

，

5π

6

)，
函數(shù)f(m)=

3

sinm∈(

3

2

，

3

]．

點評：本題主要考查兩角和差的三角公式，余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域元和值域，屬于中檔題．