Question

20．在△ABC中，邊a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足cos（A-B）=2sinAsinB．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若a=3，c=6，CD為角C的角平分線，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導公式化簡可求C=$\frac{π}{2}$，即可判定三角形的形狀．
（2）由已知利用勾股定理可求b，利用三角形內(nèi)角和定理可求∠ADC，由正弦定理可求CD的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由cos（A-B）=2sinAsinB，得cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，…（2分）
∴cosAcosB-sinAsinB=0，
∴cos（A+B）=0，
∴C=$\frac{π}{2}$．…（6分）
故△ABC為直角三角形．
（2）由（Ⅰ）知C=90°，又a=3，c=6．
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，A=30°，∠ADC=180°-30°-45°=105°，…（8分）
由正弦定理得$\frac{CD}{sinA}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，
∴CD=$\frac{3\sqrt{3}}{sin105°}$×sin30°=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了兩角差的余弦函數(shù)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，誘導公式，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．