已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過的定點坐標；
(2)拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,求直線的斜率；
(3)若過點且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點與交于點．
證明：無論如何取直線,都有為一常數(shù)．

（1）；（2）；（3）證明見解析．

解析試題分析：（1）本題考查拋物線的定義，由于直線是已知拋物線的的準線，而圓心在拋物線上的圓既然與準線相切，則它必定過拋物線的焦點，所以所有的圓必過拋物線的焦點，即定點；（2）這是直線與拋物線相交問題，設(shè)如設(shè)，，則，兩式相減有，則，下面就是要求或，為此，我們設(shè)直線方程為，把它與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去，就可得到關(guān)于的方程，可得，，只是里面含有，這里解題的關(guān)鍵就是已知條件怎樣用？實際上有這個條件可得，這樣與剛才的，合起來就能求出；（3）由于直線過焦點，因此弦長可用拋物線的定義來求，設(shè)方程為，，同理，直線計算，可證結(jié)論．
試題解析：(1) 由定義可得定點(1,0);（4分）
(2)設(shè),由,得（5分）
由方程組,得
得（7分）
聯(lián)立上述方程求得:（9分）
(3) 由,得（11分）
則,（12分）
同理: ,（14分）
因此為常數(shù)．（16分）
考點：(1)拋物線的定義；（2）直線和與拋物線相交與向量的應(yīng)用；(3)圓錐曲線綜合問題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：的右焦點為F，P為橢圓上的一個動點．
（1）求線段PF的中點M的軌跡C2的方程；
（2）過點F的直線l與橢圓C1相交于點A、D，與曲線C2順次相交于點B、C，當時，求直線l的方程．

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已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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知橢圓的兩焦點、，離心率為，直線：與橢圓交于兩點，點在軸上的射影為點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求直線的方程，使的面積最大，并求出這個最大值．

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已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線C上動點P(x，y)到定點F1(，0)與定直線l1∶x＝的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設(shè)圓T與曲線C交于點M與點N，求·的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且＝，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，·＝0.

(1)求橢圓的離心率；
(2)若△ABF1的周長為，求橢圓的方程．

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