Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（

1

x

），當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意可得f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；從而在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；結(jié)合函數(shù)圖象求解．

解答： 解：由題意，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，
f（x）=2f（

1

x

）=2ln

1

x

=-2lnx，
故f（x）=

lnx，x≥1 -2lnx，0＜x＜1

；
在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
即在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，f（x）-ax=0有3個(gè)不同的解，
即在區(qū)間（0，e²）內(nèi)，
a=

f(x)

x

=

lnx x ，x≥1 -2lnx x ，0＜x＜1

；
作函數(shù)y=

f(x)

x

的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)x∈（1，e²）時(shí)，
令y′=

1-lnx

x2

=0得，
x=e；
故y（e）=

1

e

；y（e²）=

2

e2

；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

2

e2

，

1

e

）．
故答案為：（

2

e2

，

1

e

）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及學(xué)生作圖的能力，屬于中檔題．