Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-1，若函數(shù)y=f（x）在相異兩動(dòng)點(diǎn)A、B處的切線平行，求證：直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)兩點(diǎn)A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），由題意得b=-a-2，故得過(guò)A、B的直線參數(shù)方程為x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)論．

解答： 證明：設(shè)兩點(diǎn)A（a，f（a））、B（b，f（b））（a≠b），則
∵f（x）=x³+3x²-1，∴f′（x）=3x²+6x，
∵函數(shù)y=f（x）在相異兩動(dòng)點(diǎn)A、B處的切線平行，
∴3a²+6a=3b²+6b，
∴b=-a-2，
∴過(guò)A、B的直線參數(shù)方程為x=a+（b-a）t，y=a³+3a²-1+（b³+3b²-a³-3a²）t，
化簡(jiǎn)得x=a+（-2a-2）t=a（1-2t）-2t，y=3-4t+3（2t-1）a²+（2t-1）a³，
∴t=

1

2

時(shí)，1-2t=0．
∴x=-1，y=1，
∴直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)直線參數(shù)方程的運(yùn)用能力，屬于中檔題．