Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx﹙ω＞0﹚，其圖象的最高點M與相鄰最低點N的距離MN=

1

4

π2+64

．
（1）求ω的值；
（2）若△ABC三邊a、b、c成等差數(shù)列，且邊b所對角為∠B，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：（1）由條件利用三角恒等變換求得函數(shù)f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，再根據(jù)其圖象的最高點M與相鄰最低點N的距離MN=

1

4

π2+64

=

22+( 1 2 • 2π 2ω )2

，求得ω的值． 
（2）由2b=a+c，利用余弦定理、基本不等式可得cosB≥

1

2

，可得0＜B≤

π

3

，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（B）=sin（4B-

π

6

）-

1

2

的范圍．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+co2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
其圖象的最高點M與相鄰最低點N的距離MN=

1

4

π2+64

=

22+( 1 2 • 2π 2ω )2

，∴ω=2．
（2）若△ABC三邊a、b、c成等差數(shù)列，則2b=a+c．
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 4 (a2+c2)- 1 2 ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，∴4B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴sin（4B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（B）=sin（4B-

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、余弦定理、基本不等式、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．