Question

【題目】已知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1，b4=10的等差數(shù)列，設(shè)bn+2=3log an（n∈n*）．
（1）求證：{an}是等比數(shù)列；
（2）記cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）記dn=（3n+1）Sn ， 若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：b1=1，b4=10，可得

公差d= =3，bn=1+3（n﹣1）=3n﹣2；

bn+2=3log an=3n，

則an=（ ）n，

由 = ，

可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列；

（2）解：cn= = = （ ﹣ ），

則前n項(xiàng)和Sn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）= ；

（3）解：dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意正整數(shù)n使

不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

設(shè) ，

則f（n+1）﹣f（n）=[ + +…+ ]﹣（ + +…+ ）

= + ﹣ = ＞0

所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值是f（1）= ，

由 ＜ 恒成立，即m＜12，

知整數(shù)m可取最大值為11．

【解析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差d=3，進(jìn)而得到bn=3n﹣2，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）求得cn= = = （ ﹣ ），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和即可得到所求和；（3）求得dn=（3n+1）Sn=（3n+1） =n．設(shè) ，判斷為單調(diào)遞增，求得最小值f（1），再由恒成立思想可得m的范圍，進(jìn)而得到最大值．