Question

【題目】已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)都不為零，其前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，其中t為正整數(shù)．

求；

若不等式對(duì)任意都成立，求首項(xiàng)的取值范圍；

若首項(xiàng)是正整數(shù)，則數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積？若是，請(qǐng)給出一種表示方式；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) 數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積.理由見解析.

【解析】

分析：（1）令，則，即，可得．又由與的關(guān)系可得，從而數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，由此可得．（2）由可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，由此可得然后由題意討論可得．（3）由（2）得數(shù)列的各項(xiàng)都是正整數(shù)．假設(shè)結(jié)論成立，即，即，所以，取，取，故，不妨設(shè)是偶數(shù)，則一定是整數(shù)，討論可得不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，上式都有解，即假設(shè)成立．

詳解：（1）令，則，即，

又，

所以；

由，得，

兩式相減得，

又，

故，

所以．

（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．

故

所以

①當(dāng)時(shí)奇數(shù)時(shí)，，

即，

即對(duì)任意正奇數(shù)恒成立，

所以，

解得．

②當(dāng)時(shí)偶數(shù)時(shí)，，

即，即對(duì)任意正偶數(shù)恒成立，

所以，

解得．

綜合①②得．

（3）由數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)為正整數(shù)，公差為1的等差數(shù)列知，數(shù)列的各項(xiàng)都是正整數(shù)．

設(shè)，即，

所以，

取，取，

故，

不妨設(shè)是偶數(shù)，則一定是整數(shù)，

故當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，方程的一組解是

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，方程的一組解是

所以數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示為數(shù)列中的其他兩項(xiàng)之積．