Question

（14分）（2011•陜西）設(shè)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與的大小關(guān)系；
（Ⅲ）求a的取值范圍，使得g（a）﹣g（x）＜對(duì)任意x＞0成立．

Answer 1

（Ⅰ）（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間；（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）
（Ⅲ）0＜a＜e

試題分析：（I）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可求得結(jié)果；
（Ⅱ）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，半徑兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．
解：（Ⅰ）由題設(shè)知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，
∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
因此，x=1是g（x）的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，
從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為g（1）=1．
（II）
設(shè)，則h'（x）=﹣，
當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，即，
當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，h′（1）=0，
因此，h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即，
當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即．
（III）由（I）知g（x）的最小值為1，
所以，g（a）﹣g（x）＜，對(duì)任意x＞0，成立?g（a）﹣1＜，
即Ina＜1，從而得0＜a＜e．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．主要考查導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想．其考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．