Question

11．手機(jī)完全充滿電量，在開機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間．為了解A，B兩個(gè)不同型號手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣場庫存手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B兩個(gè)型號的手機(jī)各5臺，在相同條件下進(jìn)行測試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

手機(jī)編號	1	2	3	4	5
A型待機(jī)時(shí)間（h）	120	125	122	124	124
B型待機(jī)時(shí)間（h）	118	123	127	120	a

已知 A，B兩個(gè)型號被測試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判斷A，B兩個(gè)型號被測試手機(jī)待機(jī)時(shí)間方差的大小（結(jié)論不要求證明）；
（Ⅲ）從被測試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號手機(jī)各1臺，求至少有1臺的待機(jī)時(shí)間超過122小時(shí)的概率．
（注：n個(gè)數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$為數(shù)據(jù)x₁，x₂，…，x_n的平均數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由平均數(shù)的計(jì)算公式可得$\overline{{x}_{A}}$=120+$\frac{0+5+2+4+4}{5}$=123（h），$\overline{{x}_{B}}$=120+$\frac{（-2）+3+7+0+（a-120）}{5}$，又由題意，$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，計(jì)算可得a的值，
（Ⅱ）根據(jù)題意，直觀分析兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，即可得答案，
（Ⅲ）根據(jù)題意，設(shè)A型號手機(jī)為A、B、C、D、E；B型號手機(jī)為1、2、3、4、5；“至少有1臺的待機(jī)時(shí)間超過122小時(shí)”為事件C．用列舉法可得從被測試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號手機(jī)各1臺的取法數(shù)目，進(jìn)而可得C事件包含的情況數(shù)目，由古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，$\overline{{x}_{A}}$=120+$\frac{0+5+2+4+4}{5}$=123（h），
$\overline{{x}_{B}}$=120+$\frac{（-2）+3+7+0+（a-120）}{5}$，
又由題意，$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，
解可得，a=127；
（Ⅱ）設(shè)A，B兩個(gè)型號被測試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的方差依次為${{s}_{A}}^{2}$、${{s}_{B}}^{2}$，
結(jié)合數(shù)據(jù)分析可得，B型號的手機(jī)數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，
即有${{s}_{A}}^{2}$＜${{s}_{B}}^{2}$，
（Ⅲ）設(shè)A型號手機(jī)為A、B、C、D、E；B型號手機(jī)為1、2、3、4、5；
“至少有1臺的待機(jī)時(shí)間超過122小時(shí)”為事件C．
從被測試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號手機(jī)各1臺，不同的抽取方法有
（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、
（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、
（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、
（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、
（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、
共25種．
抽取的兩臺手機(jī)待機(jī)時(shí)間都不超過122小時(shí)的選法有：
（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4種；
則至少有1臺的待機(jī)時(shí)間超過122小時(shí)的選法有25-4=21種，
故P（C）=$\frac{21}{25}$；
所以至少有1臺的待機(jī)時(shí)間超過122小時(shí)的概率是$\frac{21}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查利用列舉法計(jì)算古典概率，涉及數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算，關(guān)鍵是分析題意，得到數(shù)據(jù)．