Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

n

2

（a₁+a_n）（n∈N⁺）．
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）對(duì)于任意的正整數(shù)n≥2，求證：a₁a₂…a_n＞(2n+1)

n-1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依次令n=3，4，5可求得a₃，a₄，a₅的值．
（2）由 （1）猜想a_n=2n-1，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（3）由{a_n}為等差數(shù)列，得a₁+a_n+1=a₂+a_n=…=a_n+a₂=a_n+1+a₁．由xy=

(x+y)2

4

-

(x-y)2

4

，知x+y一定時(shí)，要使xy最小，則|x-y|最大．由此能證明a1a2…an＞(2n+1)

n-1

2

．

解答： （1）解：∵a₁=1，a₂=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

n

2

（a₁+a_n）（n∈N⁺）．
∴n=3時(shí)，4+a₃=

3

2

（1+a₃），解得a₃=5；
n=4時(shí)，9+a₄=

4

2

(1+a4)，解得a₄=7；
n=5時(shí)，16+a₅=

5

2

(1+a5)，解得a₅=9．
（2）解：由 （1）猜想a_n=2n-1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1，2時(shí)結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)n=k（k∈N，k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即a_k=2k-1，
則ak+1=Sk+1-Sk=

k+1

2

(1+ak+1)-

k

2

(1+ak)=

1

2

+

k+1

2

ak+1-

k(2k-1)

2

⇒(k-1)ak+1=2k2-k-1⇒ak+1=2k+1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
綜上知結(jié)論成立．
（3）證明：由 （2）知{a_n}為等差數(shù)列，
故a₁+a_n+1=a₂+a_n=…=a_n+a₂=a_n+1+a₁．
由xy=

(x+y)2

4

-

(x-y)2

4

，知x+y一定時(shí)，要使xy最小，則|x-y|最大．
∵|a₁-a_n+1|＞|a_k-a_n+2-k|（2≤k≤n），
∴(a1a2…an+1)2=(a1an+1)(a2an)…(an+1a1)＞(a1an+1)n+1，
∴a1a2…an+1＞(a1an+1)

n+1

2

=(2n+1)

n+1

2

，
從而a1a2…an＞(2n+1)

n-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．