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14.已知數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn=n2+1,數(shù)列{bn}滿足bn=1an+1,且前n項(xiàng)和為T(mén)n,設(shè)cn=T2n+1-Tn
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性.

分析 (1)數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn=n2+1,可得a1=S1,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1.可得an={2n=12n1n2.進(jìn)而得到bn
(2)由cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1,作差cn+1-cn,即可得出{cn}的單調(diào)性.

解答 解:(1)∵數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn=n2+1,
∴a1=S1=2,a1=2,
n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
∴an={2n=12n1n2
n=1時(shí),b1=13;
n≥2時(shí),bn=12n1+1=12n
∴bn={13n=112nn2
(2)∵cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
=12n+1+12n+2+…+122n+1
∴cn+1-cn=14n+6-12n+2<0,
∴{cn}是遞減數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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