Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離的和為定值．

（1）求點(diǎn)運(yùn)動所成軌跡的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在軌跡上，點(diǎn)在直線上，且，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1） （2） 直線與圓相切

【解析】

試題分析：（1）由題知點(diǎn)運(yùn)動所成軌跡符合橢圓定義，則易求其軌跡方程

（2）設(shè)點(diǎn)，，顯然其中.由題，可得

當(dāng)直線的斜率不存在時, ，代入橢圓方程可得，解得：，此時直線的方程為或，顯然與圓相切）

當(dāng)直線的斜率存在，即時，直線的方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式

將，代入化簡得所以，直線與圓相切

試題解析：（1）由題意知：

所以，由橢圓的定義可知：動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡是: 以，為焦點(diǎn)，長軸長為4，焦距為的橢圓，且短半軸長為

所以軌跡的方程為）

（2）直線與圓相切

證明如下：設(shè)點(diǎn)，，顯然其中,

因為，所以，即，所以）

①當(dāng)直線的斜率不存在時，即時，，代入橢圓方程可得：

，解得：，

此時直線的方程為或，顯然與圓相切）

②當(dāng)直線的斜率存在，即時，直線的方程為：

，即）

此時，圓心到直線的距離）

又因為，

所以

==

=，所以，直線與圓相切

綜上，直線與圓相切

考點(diǎn)：由橢圓定義求橢圓方程，直線與圓的位置關(guān)系

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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