Question

若二項式(x

x

-

1

x

)6的展開式中第5項的值是5，則x=

 

，此時

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求得第r+1項，令r=4得第五項，列方程解得x．
利用等比數(shù)列的求和公式化簡極限值．

解答：解：(x

x

-

1

x

)6的展開式的通項為Tr+1=

C

r 6

(x

x

)6-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 6

x

18-5r

2

令r=4得T₅=C₆⁴x^-1=15x^-1
∴15x^-1=5
∴x=3
∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

3n

)=

1

2

故答案為3，

1

2

點評：本題考查二項展開式的通項公式求二項展開式的特定項；等比數(shù)列的前n項和公式．