Question

8．四面體ABCD中，AB和CD為對(duì)棱．設(shè)AB=a，CD=b，且異面直線AB與CD間的距離為d，夾角為θ．
（Ⅰ）若θ=$\frac{π}{2}$，且棱AB垂直于平面BCD，求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，證明：四面體ABCD的體積為一定值；
（Ⅲ）求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線的距離的定義結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．
（2）找出異面直線AB，CD的公垂線，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行證明即可．
（3）根據(jù)錐體的體積公式進(jìn)行求解．

解答 證明：（1）如圖5-2，由于棱AB⊥平面BCD，過B作CD邊上的高BE，
則AB⊥BE，CD⊥BE，
故BE是異面直線AB與CD的距離，即d=BE．
所以V_A-BCD=$\frac{1}{3}$AB•S_△BCD=$\frac{1}{3}$a$•\frac{1}{2}b•d$=$\frac{1}{6}$abd．


（2）如圖5-3，過A作底面BCD的垂線，垂足為O，連結(jié)BO與CD相交于E．連結(jié)AE，
再過E作AB的垂線，垂足為F．
因?yàn)锳B⊥CD，所以BO⊥CD（三垂線定理的逆定理），
所以CD⊥平面ABE，
因?yàn)镋F?平面ABE，
所以CD⊥EF，
又EF⊥AB．
所以EF即為異面直線AB，CD的公垂線．
所以EF=d．注意到CD⊥平面ABE．
所以V_A-BCD=$\frac{1}{3}$CD•S_△ABE=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AB•EF•CD=$\frac{1}{6}$abd為定值．
（3）如圖5-4：將四面體ABCD補(bǔ)成一個(gè)平行六面體ABB'D'-A'CC'D．
由于AB，CD所成角為θ，
所以∠DCA'=θ，
又異面直線AB與CD間的距離即上、下兩底面AB'，A'C'的距離，
所以V_{ABB'D'-A'CC'D}=$\frac{1}{2}$absinθ×2d=abdsinθ．
顯然V_A-BCD=$\frac{1}{6}$V_{ABB'D'-A'CC'D}=$\frac{1}{6}$abdsinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間幾何體的體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的體積公式以及異面直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．