Question

18．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作[x]=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-[x]|的四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，$\frac{1}{2}}$]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{k}{2}$（k∈Z）對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是增函數(shù)，其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；根據(jù)f（k-x）與f（-x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于直線x=$\frac{K}{2}$（k∈Z）對(duì)稱；再判斷f（-x）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的單調(diào)性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個(gè)反例．

解答 解：①中，令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）=|x-[x]|=|a|∈[0，$\frac{1}{2}$]
故①正確；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-[k-x]|=|（-x）-[-x]|=f（x），
所以關(guān)于x=$\frac{K}{2}$對(duì)稱，故②正確；
③中，∵f（-x）=|（-x）-[-x]|=|x-[x]|=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)，故③正確；
④中，x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，m=-1，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$時(shí)，m=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）故④錯(cuò)誤．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對(duì)稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對(duì)4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．