Question

【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是BC，A1B1的中點．

（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直線BC與平面AB1C所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中點F，連接DF，EF

在△ABC中，因為D，F(xiàn)分別為BC，AB的中點，

所以DF∥AC（中位線），

又∵DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，

所以DF∥平面ACC1A1

在矩形ABB1A1中，因為E，F(xiàn)分別為A1B1，AB的中點，

∴EF∥AA1（中位線），

又∵EF平面 ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

∴EF∥平面ACC1A1

∵DF∩EF=F，

∴平面DEF∥平面ACC1A1

∵DE平面DEF，

∴DE∥平面ACC1A1

（2）解：解法一：

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴BC⊥BB1，

又AB⊥BC，AB∩BB1=B，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∵AB=BC，BB1=BB1，

∴△ABB1≌△CBB1

∴AB1=CB1，又 ，

∴△AB1C為正三角形，

∴ ，∴BB1=AB

取AB1的中點O，連接BO，CO，

∴AB1⊥BO，AB1⊥CO，

∴AB1⊥平面BCO，

∴平面AB1C⊥平面BCO，點B在平面AB1C上的射影在CO上，

∴∠BCO即為直線BC與平面AB1C所成角

在Rt△BCO中， ，

∴

解法二：由題知BB1，BA，BC兩兩互相垂直，故建立空間直角坐標線如圖，

并設AB=2，BB1=t，

則A（0，2，0），C（0，0，2），B1（t，0，0）（t＞0）

∴ ，

∵ ，∴ =60°

∴ ，得t=2．

∴B1（2，0，0）， ，

設平面AB1C的法向量為

則 得x=y=z，取 =（1，1，1）

記直線BC與平面AB1C所成角為θ，且

則 =

∴

故直線BC與平面AB1C所成角的正切值為 ．

【解析】（1）根據(jù)題目特點，可由證面面平行，得到線面平行．（2）方法一：找出線面所成角，再構造三角形求線面角的正切值；方法二：建立空間直角坐標系，根據(jù)向量所成角，求得線面角．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．