Question

自單位圓外任意一點P引圓的兩條切線，切點分別為點A、B，那么

AP

•

BP

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：求解本題，首先要知道從圓外一點所引兩條切線的特點是什么，特點就是，圓心和切點連線垂直于切線，并且這兩條切線長度相等．把數(shù)量積表示出來，你會發(fā)現(xiàn)有3個未知量，分別是PA的長度，PB得長度及角APB，含三個變量求最小值應(yīng)該有難度，所以看能不能把它變成一個變量，這是可以的，三角形PAO中AO長度已知，所以PA的長度用∠APO表示即可，同樣的PA也可用這個角表示，這樣就完成了將三個變量變成一個變量，下面就看整理成什么式子，求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：如下圖，設(shè)∠APO=θ，則PA=PB=

1

tanθ

，

AP

•

BP

=|

AP

|•|

BP

|cos2θ=

1

tanθ

•

1

tanθ

•cos2θ=

cos2θ

sin2θ

•cos2θ=

1+cos2θ

1-cos2θ

•cos2θ，所以令：x=1-cos2θ，x∈[0，2]
則，

PA

•

PB

=

(2-x)(1-x)

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3，并且x=

2

時等式成立．所以

AP

•

BP

的最小值是2

2

-3，故答案為2

2

-3．
[

點評：本題需要知道的知識點就是圓外一點引圓的兩條切線，具有什么樣的性質(zhì)．二倍角公式，數(shù)量積的運算，也是本題涉及的知識點．還一個就是把三個變量變成一個的方法．