Question

已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于有下列命題，
①函數(shù)是奇函數(shù)；
②函數(shù)不是周期函數(shù)；
③函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
④函數(shù)的最大值為.
其中真命題是_________.

Answer 1

③

解析試題分析：由題知=，所以=，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/78/29/78e2978092c347a05a189895e19c5521.png" style="vertical-align:middle;" />===是偶函數(shù)，故①錯(cuò)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/99/c/lgoep2.png" style="vertical-align:middle;" /> ===，周期為，故②錯(cuò)，
因?yàn)樵O(shè)（）是函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)，則，該點(diǎn)關(guān)于(π，0)的對(duì)稱點(diǎn)為（），所以== =- =，即點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，故圖像關(guān)于(π，0)對(duì)稱，③正確；
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/fa/2c/fab2ca760489732d79dd58b97abad010.png" style="vertical-align:middle;" />==，令，則-1≤t≤1，= =（-1≤t≤1），所以==，當(dāng)-1≤≤-或≤≤1時(shí)，＜0，當(dāng)-＜＜時(shí)，＞0，所以該函數(shù)在（-1，-），（，1）上是減函數(shù)，在（-，）是增函數(shù)，當(dāng)=時(shí)，取極大值，因?yàn)楫?dāng)=-1時(shí)，y=0，所以的最大值為，故④錯(cuò)，所以正確的命題為③.
考點(diǎn)：周期變換，函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱